湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题科目考试概要

考试考哪几科代码：[]考试考哪几科名字：实变函数

1、考试内容及要素

（一）测度论与可测函数部分

1、n维欧式空间中的点集

考试内容：开集、闭集的架构、离别定理

考试要素：

l 需要考生熟练学会开集闭集的定义及其架构定理。

l 需要考生理解Cantor集。

l 需要考生熟练学会离别定理。

2、测度论

考试内容：Lebesgue 外测度，可测集、可测集类

考试要素：

l 测度的概念和性质；

l 学会Lebesgue 外测度和测度的概念和基本性质；

l 练学会由卡拉皆屋铎利给出可测集的概念及可测集的基本运算性质。

l 学会零测集的性质；开集、闭集的可测性；

l 知道特殊的两类集合，波雷耳集。

3、可测函数

考试内容：可测函数及其性质，几乎处处收敛，叶果洛夫定理，可测函数的架构，依测度收敛

考试要素：

l 熟练学会可测函数及其四则运算，可测函数与简单函数的关系，几乎处处成立的定义；

l 理解叶果洛夫定理；

l 理解并学会鲁津定理及其逆定理；

l 熟练学会依测度收敛的概念，几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例，Riese定理和Lebesgue收敛定理

（二）Lebesgue积分与不定积分部分

1、Lebesgue积分的定义与性质

考试内容：勒贝格积分的概念，勒贝格积分的性质，一般可积函数，积分的极限定理

考试要素：

l 理解勒贝格积分的概念，学会可积的两个充要条件；可积的四则运算， 勒贝格积分与Riemann积分的关系；

l 熟练学会勒贝格积分的基本性质和绝对连续性；

l 熟练学会一般可积函数的L积分的概念和初等性质。

l 牢记勒贝格控制收敛定理，列维定理，L 逐项积分定理，积分的可数可加性，Fatou引理及有关积分与求导交换的定理。

2、微分和不定积分

考试内容：有界变差函数、绝对连续函数

考试要素：

l 熟练学会有界变差的概念，理解Lebesgue定理；

l 充分理解绝对连续函数，并理解绝对连续函数与不定积分的关系。