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选择题
1、单项选择题
1.如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为

A .B.3 C. D.
1.令AB=3a,由于CMMD=AMMB,即2×4=2a2,所以a=2.又由于CNNE=ANNB,即3NE=4×2,所以NE= ,故选A.
2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为

A.2 B.1 C.0 D.-1
2.实行程序:i=1,S=0;S=cosplay =0,i=2;S=0+cosplay π=-1,i=3;S=-1+cosplay =-1,i=4;S=-1+cosplay =0,i=5;S=0+cosplay =0,i=6,满足i>5,退出循环,输出的结果为0,故选C.
3.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+ =0或2x+y- =0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+ =0或2x-y- =0
3.切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0,结合题意可得 = ,解得c=±5.故选A.
4.如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A'CD,所成二面角A'-CD-B的平面角为α,则

A.∠A'DB≤αB.∠A'DB≥αC.∠A'CB≤αD.∠A'CB≥α
4.若CD⊥AB,则∠A'DB为二面角A'-CD-B的平面角,即∠A'DB=α.
若CD与AB不垂直,在△ABC中,过A作CD的垂线交线段CD或CD的延长线于点O,交BC于E,连结A'O,则∠A'OE为二面角A'-CD-B的平面角,即∠A'OE=α,∵AO=A'O,∴∠A'AO= .又A'D=AD,∴∠A'AD= ∠A'DB.而∠A'AO是直线A'A与平面ABC所成的角,由线面角的性质知∠A'AO<∠A'AD,则有α<∠A'DB.综上有∠A'DB≥α,故选B.
5.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足b+c≤3a,则 的取值范围为
A.B.C.D.
5.由已知及三角形三边关系得
∴ ∴ 两式相加得,0<2× <4,∴ 的取值范围为,故选B.
6.设四边形ABCD为平行四边形,| |=6,| |=4.若点M,N满足 =3 , =2 ,则=
A.20 B.15 C.9 D.6
6.依题意有 = + = + , = + = - = - ,所以== - =9.故选C.
7.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足 =2a, =2a+b,则下列结论正确的是
A.|b|=1 B.a⊥b
C.ab=1 D.⊥
7.∵b= - = ,∴|b|=| |=2,故A错;∵=2×2×cosplay 60°=2,即-2ab=2,∴ab=-1,故B、C都错;∵ =b=4ab+b2=-4+4=0,∴⊥ ,故选D.
8.已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为,则| + + |的值为
A.6 B.7 C.8 D.9
8.解法一:由圆周角定理及AB⊥BC,知AC为圆的直径.
故 + =2 =.
设B,∴ =,
∴ + + =,| + + |= = ≤ =7,当且仅当cosplay α=-1时取等号,此时B,故| + + |的值为7.故选B.
解法二:同解法一得 + =2 ,又 = + ,∴| + + |=|3 + |≤3| |+| |=3×2+1=7,当且仅当 与 同向时取等号,此时B点坐标为,故| + + |max=7.故选B.
9.sin 20°cosplay 10°-cosplay 160°sin 10°=
A.- B. C.- D.
9.原式=sin 20°cosplay 10°+cosplay 20°sin 10°=sin=sin 30°= ,故选D.
10.若集合M={x|=0},N={x| =0},则M∩N=
A.{1,4}B.{-1,-4}C.{0}D.
10.化简集合得M={-4,-1},N={1,4},
显然M∩N=,故选D.
非选择题
2、填空题
11.在极坐标系中,点 到直线ρ=6的距离为________.
11.由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点 对应的直角坐标为,直线ρ=6对应的直角坐标方程为x+ y=6,由点到直线的距离公式可得,所求距离为 =1.
12.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那样这组数据的平均数为________.
12.由已知得,所求平均数为 =6.
13.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosplay θ的值为________.

13.如图,打造空间直角坐标系A-xyz,
设AB=2,QM=m,
则F,E,M.

=, =,
cosplay θ=|cosplay< , >|= = = .
设y= ,
则y'=
=
= .
当0∴y= 在上单调递减.
∴当m=0时,y取值,
此时cosplay θ取值,max= = .
14.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.

14.依题意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.
∴∠ACB=45°,
在△ABC中,由 = ,
得 = ,有CB=300 ,
在Rt△BCD中,CD=CBtan 30°=100 ,
则此山的高度CD=100 m.
3、解答卷
15.某工厂36名工人的年龄数据如下表.
工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄
1 40 10 36 19 27 28 34
2 44 11 31 20 43 29 39
3 40 12 38 21 41 30 43
4 41 13 39 22 37 31 38
5 33 14 43 23 34 32 42
6 40 15 45 24 42 33 53
7 45 16 39 25 37 34 37
8 42 17 38 26 44 35 49
9 43 18 36 27 42 36 39
用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;
计算中样本的均值 和方差s2;
36名工人中年龄在 -s与 +s之间有多少人?所占的百分比是多少?
15.由系统抽样,将36名工人分为9组,每组抽取一名工人.
由于在第一分段里抽到的是年龄为44的工人,即编号为2的工人,故所抽样本的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.
均值
= =40;
方差s2= ×= .
由可知s= .由题意,年龄在 内的工人共有23人,所占的百分比为 ×100%≈63.89%.
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD= ,PA=AD=2,AB=BC=1.
求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;
点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.

16.以{ , , }为正交基底打造如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则各点的坐标为B,C,D,P.

易知AD⊥平面PAB,所以 是平面PAB的一个法向量, =.
由于 =, =,
设平面PCD的法向量为m=,
则m =0,m =0,
即
令y=1,解得z=1,x=1.
所以m=是平面PCD的一个法向量.
从而cosplay< ,m>= = ,
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为 .
由于 =,
设 =λ =,
又 =,
则 = + =,
又 =,
从而cosplay< , >= = .
设1+2λ=t,t∈,
则cosplay2 < , >= = ≤ .
当且仅当t= ,即λ= 时,
|cosplay< , >|的值为 .
由于y=cosplay x在 上是减函数,所以此时直线CQ与DP所成的角获得最小值.
又由于BP= = ,
所以BQ= BP= .
17. 已知函数f=sin .
求f的单调递增区间;
若α是第二象限角, f = cosplay cosplay 2α,求cosplay α-sin α的值.
17.由于函数y=sin x的单调递增区间为 ,k∈Z.
由- +2kπ≤3x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得
- + ≤x≤ + ,k∈Z.
所以,函数f的单调递增区间为 ,k∈Z.
由已知,有sin = cosplay ,
所以sin αcosplay +cosplay αsin
= .
即sin α+cosplay α= 2.
当sin α+cosplay α=0时,由α是第二象限角,知α= +2kπ,k∈Z.
此时,cosplay α-sin α=- .
当sin α+cosplay α≠0时,有2= .
由α是第二象限角,知cosplay α-sin α<0,此时cos α-sin α=- .
综上所述,cosplay α-sin α=- 或- .
18.已知向量a=,b=,函数f=ab,且y=f的图象过点 和点 .
求m,n的值;
将y=f的图象向左平移φ个单位后得到函数y=g的图象,若y=g图象上各点到点的距离的最小值为1,求y=g的单调递增区间.
18.由题意知f=ab=msin 2x+ncosplay 2x.
由于y=f的图象经过点 和 ,
所以
即
解得m= ,n=1.
由知f= sin 2x+cosplay 2x=2sin .
由题意知g=f=2sin .
设y=g的图象上符合题意的点为,
由题意知 +1=1,所以x0=0,
即到点的距离为1的点为.
将它代入y=g得sin =1,
由于0<φ<π,所以φ= .
因此g=2sin =2cosplay 2x.
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ- ≤x≤kπ,k∈Z,
所以函数y=g的单调递增区间为 ,k∈Z.
19.已知向量 ， ， .
（Ⅰ）求函数 的单调递减区间；
（Ⅱ）在 中, 分别是角 的对边, , ,
若 ，求 的大小.
19.（Ⅰ）
，
所以 递减区间是 . （5分）
（Ⅱ）由 和 得: ,
若 ，而
又 , 所以
由于 ，所以
若 ，同理可得： ，显然不符合题意，舍去. （9分）
所以 ，
由正弦定理得: . （12分）
20.（2024福建，21（3）, 7分）设不等式|x-2|< a 的解集为A, 且∈A, A.
求a的值;
求函数f =|x+a|+|x-2|的最小值.
20. 由于∈A, 且A, 所以 < a, 且 ≥a,
解得< a≤. 又因为a∈N*, 所以a=1.
由于|x+1|+|x-2|≥| - |=3,
当且仅当≤0, 即-1≤x≤2时取到等号, 所以f 的最小值为3.