高中二年级数学考试试题（理科）

命题人：朱占奎 张圣官 展国培 张敏

审题人：丁凤桂 石志群

需要注意的地方：所有考试试题的答案均填写在答卷纸上，答案写在试题上的无效． 参考公式：数学期望：E?

方差：V??[x?E]?xp，

ii

i

i?1

i?1

n

n

2

pi??xi2pi?[E]2

i?1

n

1、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答卷纸填空题的相应答卷线上．）

1．复平面内，复数z?1?i所对应的点在第 2．命题“?x?R，使得2sinx?1成立”的否定是．

23．已知?1?2x??a0?a1x?a2x?

10

?a10x10，则a0?a1?a2?a3??a01?

4．写出命题“若abc?0，则b?0”的逆否命题：．

5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲、乙相邻的不同排法种数是．（用数字作答）

6．若复数z满足z?1?i?1，则复数z的模的值是．

7．命题：若x12?y12?1，则过点?x1,y1?的直线与圆x?y?1有两个公共点．将此命题

2

2

类比到椭圆x?2y?1中，得到一个正确命题是 ▲ ．

8．某人每次射击命中目的的概率为0.8，现连续射击10次，设击中目的的次数为X， 则E?X?= ▲ ．

9．已知：1?1;1?2??1;1?2?3?2;1?2?3?4??2;1?2?3?4?5?3;请写出第100个等式： ▲ ．

，按此规律

22

2?i202410．已知复数z1??1?i??2i?1?和复数z2?m?，当m为 ▲ 时，z1?z2．

1?i

x?13

11．已知4C17，则x?． ?17C16

11111n?1

12．在用数学总结法证明“对所有大于2的正整数n，?????n?”

246824

的过程中，从n?k到n?k?1时，左侧增加的项数为 ▲ ．

13．学校将从4名男孩和4名女孩中选出4人分别担任辩论赛中的1、2、3、四辩手，

其中男孩甲不合适担任一辩手，女孩乙不合适担任四辩手．现需要：假如男孩甲入选，

则女孩乙需要入选．那样不一样的组队形式有 ▲ 种．（用数字作答）

nn?1n?2

14．已知?x?a??m1x?m2x?m3x?

n

?mnx?mn?1，其中n?N*,a为常数．则

下列所有正确命题的序号是 ▲ ． ⑴“m1,m2,m3,

； ,mn?1中存在负数”的一个充分条件是“a??1”

⑵若n?5，则“1?a?2”是“m4为m1,m2,m3,条件；

,m6中的一个”的必要不充分

⑶若n?5，则“不等式m1?m2,m2?m3,m3?m4,m4?m5,m5?m6中恰有3个成立”的充要条件是“1?a?2”；

⑷若a?0，则“n是4的倍数”是“m1?m2?m3

mn?1?0”的充分非必要条件．

2、解答卷：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分） 已知圆C：x?y?1在矩阵M??⑴求曲线C1的方程；

⑵求逆矩阵M；

⑶求矩阵M的特点值和特点向量． 16．（本题满分14分） 已知直线l过点P?4,0?，且倾斜角为⑴求直线l的极坐标方程；

?1

22

?20?

?所对应的变换用途下变为曲线C1． 01??

3π

． 4

12?x?t??8

⑵求直线l被曲线C:?（t为参数）截得的弦长．

?y?1t??2

17．（本题满分14分）

一个盒子内装有形状和大小一模一样的3个红球和n个白球，事件“从中取出两个球，恰好有一个红球”发生的概率为p． ⑴若p?

4， 7

①求从盒子内取出3个球中至少有一个红球的概率；

②设X为取出的4个球中红球的个数，求X的数学期望E?X?和方差V?X?． ⑵求证：p?

3； 5

18．（本题满分16分）

a2

和g?x??x?2ax?2． x

⑴命题p:?x??2,???，f?x??2恒成立；命题q:函数g?x?在?2,???上单调递增．若p和q都是真命题，求实数a的取值范围；

已知函数f?x??x?⑵设F?x???

??f?x?,x?2

，若对?x1??2,???，总存在x2????,2?，使得

??g?x?,x?2

F?xF?2?x成立，求实数a的取值范围． 1??

19．（本题满分16分） 设集合A,An,1,A2,A3,

中元素的个数分别为1,2,3,,n,

．现从集合

An,An?1,An?2,An?3中各取一个元素，记不同取法种数为f． ⑴求f；

⑵是不是存在常数a,b，使得f?f??f?a5?3?b对任

*

意n?N总成立？若存在，请求出a,b的值，并用数学总结法证明；若没有，请说明理

由． 20．（本题满分16分）

已知等差数列{an}的公差为d，且5的展开式中x与x的系数之比为2． a3?5，⑴求6的展开式中二项式系数的项； ⑵设[a1x2?x?a3]n?b0?b1?b22?

2

3

?b2n2n，n?N*，求

a1b1?a2b2??a2nb2n；

an?1

⑶当n?2时，求证：

?11?16n?8n4．

2024～2024学年度第二学期期末联考

高中二年级数学考试试题（理科）参考答案

1．四 2．?x?R，2sinx?1总成立 3．1 4．若b?0，则abc?0

1

2222

7．若x1?2y1?1，则过点?x1,y1?的直线与椭圆x?2y?1有两个公共点 8．8 9．1?2?3?4??99?100??50

k?1

10．?4 11．5或14 12．2 13．930 14．⑴⑶⑷

?,y0?)，则 15．解：⑴设P为圆C上的任意一点，在伸压变换下变为另一点P???，

0??1

令f?0，解得矩阵M的特点值?1?2，?2?1． …………10分

?x?0?y?0

将?1?2代入二元一次方程组?

?0?x?y?0

解得y?0，x可以为任何非零实数，可以记x?k,k?R，且k?0．

?1?

于是，矩阵M的是特点值2的一个特点向量为??． …………12分

?0?

?x?0?y?0

将?2?1代入二元一次方程组?

?0?x?y?0

解得x?0，y可以为任何非零实数，可以记y?m,m?R，且m?0．

?0?

于是，矩阵M的是特点值1的一个特点向量为??．

?1?

?1??20?

??2??1因此，矩阵M??的特点值为，，分别对应的一个特点向量是，12???

?0??01?

2

2

2

020

?0?

?1?． …………14分 ??

16．解：⑴设直线l上任意一点为Q， 如图，在?POQ中，由正弦定理得

OQOP

?

sin?OPQsin?OQP

3?4??)?22．，即?sin?22．…………7分所以，直线的极坐标；12⑵应用代入消元法，得x?，8；因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲线是抛；直线l的普通标方程是x?y?4；设直线l与曲线的交点记作A,B2?2?62；所以，直

--------------------------------------------------------------------------------

3?4??)?22． ，即?sin44

3???)?22． …………7分 所以，直线的极坐标方程是?sin， 8

因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲线是抛物线．

直线l的普通标方程是x?y?4

设直线l与曲线的交点记作A,B， 于是???y2?2x?x1?2?x2?8联立成方程组，得?，?或?，

?x?y?4?y1?2?y2??4

AB?2?2?62

所以，直线l被曲线截得的弦长为62． …………14分

17．解⑴记“从中取出两个球，恰好有一个红球”为事件A

113C3C6n4P?2n?2?，?0，解得n?4或n?（舍） 2Cn?3n?5n?67

故n?4． …………2分

①事件“从盒子中取出3个球中至少有一个红球”是事件“从盒子中取出3个球都是白球”的对立事件，记“从盒子中取出3个球中至少有一个红球”为事件B，则记“从盒子中取出3个球都是白球”为B．

3C44P?3?， C735

31． 35

31答：从盒子中取出3个球中至少有一个红球的概率为． …………6分 35

②用随机变量X为取出的4个球中红球的个数，则X服从超几何分布H． 随机变量X的可能值有4种，它的取值集合是?0,1,2,3?． 依据对立事件的概率公式P?1?P，得P?

4C41 P?4?C735

13C3C412P?? 435C7

2C32C418 P??435C7

6

31C3C44 P??435C7

随机变量X

1?1??2??3???． 从而E?0?35353535357

n11218412V??xi2pi??2,)?02??12??22??32??2 353535357i?1

2414424???． 49749

1224答：随机变量X的数学期望为，方差为 …………10分 749

11C3Cn3n6n6???⑵证法1、P? 22Cn?3n?5n?6n??52?1n

63?记f?n?,n?N当n=2或3时取最小值为5，P?． …………14分 n5

证法2、反证法． 36n3?，即n2?5n?6?0，解得2?n?3 ，即25n?5n?65

33*由于n?N，所以没有正整数n，满足P?．因此，P?． …………14分 55假设P?

18．⑴命题p:不等式x?

2a?2在?2,???上恒成立， x即a??x?2x在?2,???上恒成立，

即a???1在?2,???上恒成立， 2

即a?0． …………2分 命题q:函数g?x??x?2ax?2在?2,???上单调递增 2

即a?2．

若p和q都是真命题，则0?a?2．

所以，实数a的取值范围是?0,2?． …………4分

a在x??2,???上的值域记作集合M， x

g?x??x2?2ax?2在x????,2?上的值域记作集合N，

由题意可得，M?N． ⑵f?x?

7

（ⅰ）当a?0时，满足M?N， …………5分 （ⅱ）当a?0或0?a?2时，x??2,???f??0， a在x??2,???上单调递增， x

?a?集合M???2,???， ?2?

g?x??x2?2ax?2在???,a?上单调递减，在?a,2?上单调递增， 则f?x?

集合N??a2?2,??， ??

a1?2，即a?0或a?? 22

1又a?0或0?a?2，所以a??或0?a?2． …………8分 2

（ⅲ）当2?a?4时，x??2,???时f??0， a?a?则f?x?在x??2,???上单调递增，集合M???2,???， x?2?

g?x??x2?2ax?2在x????,2?上单调递减，集合N??6?4a,???， 由于M?N，所以?a?2?2

4??2?a?a由于M?N，所以?即2?a?4． …………12分 6?4a??2?2?

（ⅳ）当a

?4时，x??时f

??0，x???时f??0 ??

则f

的单调减区间是?，单调增区间是??，集合M????， ?

?

g?x??x2?2ax?2在x????,2?上单调递减，集合N??6?4a,???， ??

由于M?N，所以?

综上，a??a?4?即a?4． ?6?4a?2a1或a?0． …………16分 2

19．解：⑴从A1中取一个元素，有1种取法；从A2中取一个元素，有2种取法，依次类推，不同取法种数为4!?24 …………4分 ⑵f?n

1?a?????f?a?3?3?3b5由?解得 …………8分 ?534??f?f?a?4?4?4b?b??5?53

用数学总结法证明如下：

①当n?1时，左侧?f?24，右侧?1534?3?3??3?24 55

8

左侧?右侧，所以当n?1时命题成立； …………9分 ②假设当n?k时命题成立，即

14?f?5?3?， 55

则当n?k?1时，f?f??f?f

14?5?3?? 55

1?[4?52?4?5] 5

1?{[4?1][4?4]?5} 5

1? 5

1415?3??[4?52?4]555

1? 5

1所以f?f??f?f? 5

从而当n?k?1时，命题也成立． f?f?

综上可知，原命题成立． …………16分

323220．解：5的展开式中含x的项为C5a1dx?10a12d3x2，含x的项为23

10a12d3d??2，得d?2a1，又a1?2d?5， Cadx?10adx，所以3210a1da12351233123

解得a1?1,d?2，所以an?2n?1 …………4分 ⑴a1?1,a2?3，6?6，

则的展开式中二项式系数的项为T4?C6x??540x；…………6分 ⑵a1?1,a3?5，则[a1x2?x?a3]n?n?[2?1]n

01?Cn[2]0?Cn[2]1?

01?Cn0?Cn2?n?1n?Cn[2]n?1?Cn[2]n

n?1n?Cn2n?2?Cn2n 63333

?b0?b1?b22?

∴b1?b3?b5?

∴a1b1?a2b2?

12?b2n2n 01n …………8分 ?b2n?1?0，b0?Cn,b2?Cn,,b2n?Cn?a2nb2n?a2b2?a4b4??a2nb2n n ?Cn123?3Cn?7Cn?11Cn?令S?3Cn?7Cn?11Cn?

0123n ?Cn3n?Cn]?1 则S?[Cn?3Cn?7Cn?11Cn?

9

nn?1S?[Cn?Cn?

012∴2S?Cn]?1

n?Cn)?2

∴S??2n?1 …………11分 ⑶an?1?2n?1

2n?122n?C2n?1?C2n?1?1 12n22n?1?2n?1?C2?C2?n?1n?1

∵n?2

∴2n?4

∴??2n?1?2n?1?42n?1?C1?42n?1?C22

5?42n?C2

52n?1 ?4?16n?5?16n?5?16n?8n4

2?11?16n?8n4

10 16分 …………